转载自:http://www.cnblogs.com/drizzlecrj/archive/2007/09/14/892340.html
很老的东东了,其实也没啥好整理的,网上很多资料了,就当备用把:-)
1. 欧几里德算法和扩展欧几里德算法
欧几里德算法
欧几里德算法又称辗转相除法,用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理:
定理:gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)
证明:a可以表示成a = kb + r,则r = a mod b
假设d是a,b的一个公约数,则有
d|a, d|b,而r = a - kb,因此d|r
因此d是(b,a mod b)的公约数
假设d 是(b,a mod b)的公约数,则
d | b , d |r ,但是a = kb +r
因此d也是(a,b)的公约数
因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的,其最大公约数也必然相等,得证
欧几里德算法就是根据这个原理来做的,其算法用C++语言描述为:
intGcd(inta,intb)
{
if(b==0)
returna;
returnGcd(b,a%b);
}
当然你也可以写成迭代形式:
intGcd(inta,intb)
{
while(b!=0)
{
intr=b;
b=a%b;
a=r;
}
returna;
}
本质上都是用的上面那个原理。
补充: 扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组p,q使得p * a+q * b = Gcd(a, b) (解一定存在,根据数论中的相关定理)。扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中。下面是一个使用C++的实现:
intexGcd(inta,intb,int&x,int&y)
{
if(b==0)
{
x=1;
y=0;
returna;
}
intr=exGcd(b,a%b,x,y);
intt=x;
x=y;
y=t-a/b*y;
returnr;
}
把这个实现和Gcd的递归实现相比,发现多了下面的x,y赋值过程,这就是扩展欧几里德算法的精髓。
可以这样思考:
对于a' = b, b' = a % b 而言,我们求得 x, y使得 a'x + b'y = Gcd(a', b')
由于b' = a % b = a - a / b * b (注:这里的/是程序设计语言中的除法)
那么可以得到:
a'x + b'y = Gcd(a', b') ===>
bx + (a - a / b * b)y = Gcd(a', b') = Gcd(a, b) ===>
ay +b(x - a / b*y) = Gcd(a, b)
因此对于a和b而言,他们的相对应的p,q分别是y和(x-a/b*y)
2. Stein算法
欧几里德算法是计算两个数最大公约数的传统算法,他无论从理论还是从效率上都是很好的。但是他有一个致命的缺陷,这个缺陷只有在大素数时才会显现出来。
考虑现在的硬件平台,一般整数最多也就是64位,对于这样的整数,计算两个数之间的模是很简单的。对于字长为32位的平台,计算两个不超过32位的整数的模,只需要一个指令周期,而计算64位以下的整数模,也不过几个周期而已。但是对于更大的素数,这样的计算过程就不得不由用户来设计,为了计算两个超过64位的整数的模,用户也许不得不采用类似于多位数除法手算过程中的试商法,这个过程不但复杂,而且消耗了很多CPU时间。对于现代密码算法,要求计算128位以上的素数的情况比比皆是,设计这样的程序迫切希望能够
抛弃除法和取模。
(
注:说到抛弃除法和取模,其实辗转相除法可以写成减法的形式)
Stein算法由J. Stein 1961年提出,这个方法也是计算两个数的最大公约数。和欧几里德算法 算法不同的是,Stein算法只有整数的移位和加减法,这对于程序设计者是一个福音。
为了说明Stein算法的正确性,首先必须注意到以下结论:
gcd(a,a) = a,也就是一个数和他自身的公约数是其自身
gcd(ka,kb) = k gcd(a,b),也就是最大公约数运算和倍乘运算可以交换,特殊的,当k=2时,说明两个偶数的最大公约数必然能被2整除。
有了上述规律就可以给出Stein算法如下:
如果A=0,B是最大公约数,算法结束
如果B=0,A是最大公约数,算法结束
设置A1 = A、B1=B和C1 = 1
如果An和Bn都是偶数,则An+1 =An /2,Bn+1 =Bn /2,Cn+1 =Cn *2(注意,乘2只要把整数左移一位即可,除2只要把整数右移一位即可)
如果An是偶数,Bn不是偶数,则An+1 =An /2,Bn+1 =Bn ,Cn+1 =Cn (很显然啦,2不是奇数的约数)
如果Bn是偶数,An不是偶数,则Bn+1 =Bn /2,An+1 =An ,Cn+1 =Cn (很显然啦,2不是奇数的约数)
如果An和Bn都不是偶数,则An+1 =|An -Bn|,Bn+1 =min(An,Bn),Cn+1 =Cn
n++,转4
这个算法的原理很显然,所以就不再证明了。现在考察一下该算法和欧几里德方法效率上的差别。
给出一个C++的实现:
intGcd(inta,intb)
{
if(a==0)returnb;
if(b==0)returna;
if(a%2==0&&b%2==0)return2*gcd(a>>1,b>>1);
elseif(a%2==0)returngcd(a>>1,b);
elseif(b%2==0)returngcd(a,b>>1);
elsereturngcd(abs(a-b),Min(a,b));
}
考虑欧几里德算法,最恶劣的情况是,每次迭代a = 2b -1,这样,迭代后,r= b-1。如果a小于2N,这样大约需要 4N次迭代。而考虑Stein算法,每次迭代后,显然AN+1BN+1≤ ANBN/2,最大迭代次数也不超过4N次。也就是说,迭代次数几乎是相等的。但是,需要注意的是,对于大素数,试商法将使每次迭代都更复杂,因此
对于大素数Stein将更有优势练习:
OJ上面的赤裸裸的Gcd算法的题不多,大多都是套了一个外壳。
找了两道,可以试试看
HDOJ 2028 Lowest Common Multiple Plus这个是求n个数的最小公倍数(有了最大公约数,最小公倍数应该很容易了)
ZJU 2678 Bishops on a Toral Board
这个题目要发现规律,不错的题目
分享到:
相关推荐
为了验证Euclid算法和Stein算法在高精度条件下的真实运行效率,以随机生成的多组高精度正整数,并分别按同位、异位、完全随机、斐波那契数列相邻项4种情况对这两种最大公约数算法的平均执行效率进行比较。...
GCD 使用欧几里得算法计算两个整数 m 和 n 的最大公约数。 欧几里德算法指出 m 和 n 的 gcd 与 n 和 mod(m,n) 的 gcd 相同。
扩展的欧几里德(EUCLID)算法用于求模逆元,编译环境为visual C++6.0,有什么不足的地方请指出,以便大家共同学习
欧几里得算法的原理在于,GCD(a,b)=GCD(b,r),故称辗转相除。 此cpp可解决: 对任意整数a、b求最大公约数,寻找整数s、t使得a*s+b*t=GCD(a,b)。
C#2008编的密码学上机作业:Euclid算法、扩展Euclid算法、素性检验。包含求同余和求一个数所有因子的函数。
Euclid 算法 Zm 上的运算 基本运算 计算理论 快速乘法
经典的Extended-Euclid算法,计算GCD。。。
贺卡积分卡死fjklsafjaslkf发生发生个
用的是VC++6.0编的 直接复制代码即可运行 代码通俗易懂,但不够简洁 希望大家看后多多指导指导 主要是大家一起学习学习
最大公约数 Euclid算法 扩展的Euclid算法 同余方程 / 二元一次不定方程 同余方程组 线性方程组 高斯消元法 解mod 2域上的线性方程组 整系数方程组的精确解法 矩阵 行列式的计算 利用矩阵乘法快速计算...
M-ximo-com-n除数-GCD-Euclid-s算法
//by史瑞 #include #include #define bool int #define true 1 #define false 0 #define M 2//判断多少个数互素 static long int Number[M]={170,201}; bool JudgePrime(long int Ina,long int Inb){ ...
1. Greatest Common Divisor最大公约数 2. Prime素数判断 3. Sieve Prime素数筛法 4. Module Inverse模逆元 5. Extended Euclid扩展欧几里德算法 6. Modular Linear Equation模线性方程(同余方程) 7. Chinese ...
matlab的M函数文件,附带了函数的使用说明了
Euclid 实现了用户资料界面动画。 标签:Euclid
euclid() 函数接受两个具有不确定区间的实数,并返回它们的最大公约数 (gcd),也是一个实数。 gp_euc() 函数接受几个具有关联包含区间的实数,并返回它们的 gcd。 这两个函数概括了熟悉的整数欧几里得算法。 有关...
1. Greatest Common Divisor最大公约数 2. Prime素数判断 3. Sieve Prime素数筛法 4. Module Inverse模逆元 5. Extended Euclid扩展欧几里德算法 6. Modular Linear Equation模线性方程(同余方程) 7. Chinese ...
利用C\C++实现RSA算法的加、解密运算。 具体包括: 1) 利用扩展的EUCLID计算 a mod n 的乘法逆元; 2) Miller-Rabin素性测试算法对一个给定的大数进行测试; 3) 实现 的运算,并计算 ; 4) 利用Fermat定理手工计算 ...
欧几里得算法处理器该设计使用Euclid算法计算整数的最大公约数。 开发了一个ASM-D图表,以使用Verilog HDL在RTL上实现该算法。 该设计经过仿真以实现所需的操作,并在Nexys-4 DDR板上实现。 整数是使用开关输入到...
Robin Hartshorne - Geometry. Euclid and Beyond